Avellaneda-Stoikov 做市模型

日期: 2026-07-18 方向: 量化 / 微观结构 / 做市 阶段: Phase 2 - 市场微观结构与做市 (Day 75-88) 标签: #做市 #AvellanedaStoikov #HJB #库存风险 #最优报价

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今日目标

这是做市理论的"开山之作"，所有现代做市模型（GLFT、Cartea-Jaimungal、deep RL）都是它的扩展。今天必须把 HJB 推到能背公式的程度。

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一、问题设定 (Avellaneda & Stoikov 2008)

1.1 模型组件

1.2 直觉

做市商每秒在选择两个 offset：

• δ_a 大 → 不易成交但单笔利润大；δ_a 小 → 高频成交但利润薄
• 库存 q > 0（多头）→ 想让 q 减少 → ask 拉近、bid 拉远（skew）
• 临近 T → 必须 unwind 库存 → quote 整体收紧或主动 hit 市价

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二、HJB 严格推导

2.1 值函数定义

$$ u(t, x, q, s) = \max_{\delta_b, \delta_a} E_t[ -e^{-\gamma (X_T + q_T S_T)} ] $$

其中 (x, q, s) 是当前 cash、库存、mid。

2.2 状态演化（控制问题）

在 [t, t+dt]：

• dS = σ dW (中性)
• 以 λ_b(δ_b)dt 概率：bid 成交，q ↑ 1，x ↓ (S − δ_b)
• 以 λ_a(δ_a)dt 概率：ask 成交，q ↓ 1，x ↑ (S + δ_a)

2.3 HJB 方程

把所有可能性展开（Itô + Poisson 跳跃）：

$$ \boxed{ \partial_t u + \frac{1}{2} \sigma^2 \partial_{ss} u

• \max_{\delta_b} \lambda_b(\delta_b)\big[ u(t, x − (s−δ_b), q+1, s) − u \big]
• \max_{\delta_a} \lambda_a(\delta_a)\big[ u(t, x + (s+δ_a), q−1, s) − u \big] = 0 } $$

终端条件：u(T, x, q, s) = -exp(-γ (x + q s))

2.4 Ansatz（关键技巧）

A-S 的天才之处：猜测值函数形式

$$ u(t, x, q, s) = -\exp\left(-\gamma\left[x + qs + \theta(t, q)\right]\right) $$

其中 θ(t, q) 是一个待定函数（取决于时间和库存，与 cash/价格分离）。

2.5 化简 HJB

代入 ansatz，注意 ∂_t u = -γ u · ∂_t θ、∂_s u = -γ u · q、∂_{ss}u = γ² u q²。

经过代数化简（用 f(δ) = (1−e^{-γ δ})/γ 把指数惩罚变成 δ 的函数），HJB 退化为：

$$ \partial_t \theta(t, q) - \frac{1}{2} \gamma \sigma^2 q^2 + \max_{\delta_b} \lambda_b(\delta_b), h(δ_b, q)+ \max_{\delta_a} \lambda_a(\delta_a), h(δ_a, -q) = 0 $$

其中 h 是关于 δ 的某种带 θ 差分的函数。

2.6 一阶条件 → 最优 offset

求 δ_b*、δ_a*，最终（论文公式 35）：

$$ \boxed{ \begin{aligned} \delta_a^* &= \frac{1}{\gamma}\ln\left(1 + \frac{\gamma}{k}\right) + \frac{(2q+1)}{2}\gamma \sigma^2 (T-t) \ \delta_b^* &= \frac{1}{\gamma}\ln\left(1 + \frac{\gamma}{k}\right) - \frac{(2q-1)}{2}\gamma \sigma^2 (T-t) \end{aligned} } $$

2.7 Reservation Price 与 Optimal Spread

定义 reservation price（做市商对资产的"内心估值"）：

$$ \boxed{r(s, q, t) = s - q \gamma \sigma^2 (T-t)} $$

直觉：库存 q > 0 时，r < s（"我已经多了，再买价值更低"）。

Optimal spread = ask offset + bid offset：

$$ \boxed{\delta_a^* + \delta_b^* = \frac{2}{\gamma}\ln\left(1 + \frac{\gamma}{k}\right) + \gamma \sigma^2 (T-t)} $$

报价规则： $$ \text{ask} = r + \frac{\delta_a^* + \delta_b^}{2}, \quad \text{bid} = r - \frac{\delta_a^ + \delta_b^*}{2} $$

看到没？最优做市 = 以 reservation price r 为中心、对称报价，r 围绕 mid 因库存 skew。

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三、参数解读

3.1 极限分析

• γ → 0（风险中性）：spread → 2/k（不依赖库存）→ 仅靠到达率最大化利润
• γ → ∞（极端厌恶）：spread → ∞，永远不交易
• T − t → 0（临近终结）：库存项消失，spread 只剩 (2/γ) ln(1+γ/k)，但实务中临近终结会主动 hit 市价 unwind
• q = 0（中性库存）：r = s，对称报价

3.2 实务调整：infinite horizon 版

A-S 终结期 T 不实际，Cartea-Jaimungal (2014) 给了 infinite horizon + linear penalty 版本：

$$ \delta_a^* = \frac{1}{\gamma}\ln(1 + \gamma/k) + \frac{2q+1}{2} \cdot \frac{\gamma \sigma^2}{\phi} $$

φ 是 inventory holding penalty 速率。生产做市机器人都用这个。

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四、代码实现：as_mm.py

"""
as_mm.py — Avellaneda-Stoikov 做市模型完整仿真
依赖：numpy, pandas, matplotlib, scipy
"""
import numpy as np, pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from dataclasses import dataclass, field
from typing import Optional

# ----------------------------------------------------------
# 1. 模型参数
# ----------------------------------------------------------
@dataclass
class ASParams:
    sigma: float = 2.0      # mid vol per sqrt(s)
    gamma: float = 0.1      # risk aversion
    k: float = 1.5          # order arrival decay
    A: float = 140.0        # base arrival intensity (per s)
    T: float = 600.0        # horizon (s)
    dt: float = 0.005       # 5 ms step
    s0: float = 100.0       # initial mid
    q_max: int = 50

@dataclass
class ASState:
    t: float = 0.0
    s: float = 100.0
    q: int = 0
    x: float = 0.0          # cash
    n_buy: int = 0          # times bid filled
    n_sell: int = 0         # times ask filled

# ----------------------------------------------------------
# 2. 最优 offset
# ----------------------------------------------------------
def reservation_price(s, q, t, p: ASParams):
    return s - q * p.gamma * p.sigma**2 * (p.T - t)

def optimal_spread(t, p: ASParams):
    return (2/p.gamma) * np.log(1 + p.gamma / p.k) + p.gamma * p.sigma**2 * (p.T - t)

def quote(s, q, t, p: ASParams):
    r = reservation_price(s, q, t, p)
    sp = optimal_spread(t, p)
    return r - sp/2, r + sp/2     # bid, ask

# 对照：symmetric mm（不 skew）
def symmetric_quote(s, p: ASParams, fixed_spread=2.0):
    return s - fixed_spread/2, s + fixed_spread/2

# ----------------------------------------------------------
# 3. 仿真器
# ----------------------------------------------------------
def simulate(p: ASParams, strategy="AS", seed=42):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    n_steps = int(p.T / p.dt)
    s = p.s0
    q = 0
    x = 0.0
    history = []

    for i in range(n_steps):
        t = i * p.dt
        # 1. mid 漂移 (无 drift, σ dW)
        s = s + p.sigma * np.sqrt(p.dt) * rng.standard_normal()

        # 2. quote
        if strategy == "AS":
            bid, ask = quote(s, q, t, p)
        elif strategy == "symmetric":
            bid, ask = symmetric_quote(s, p, fixed_spread=2.0)
        else:
            raise ValueError

        # 3. 成交概率：λ(δ) = A exp(-k δ) per unit time
        delta_b = s - bid
        delta_a = ask - s
        lam_b = p.A * np.exp(-p.k * delta_b)
        lam_a = p.A * np.exp(-p.k * delta_a)
        # 概率 = λ dt（小步近似）
        p_b = lam_b * p.dt
        p_a = lam_a * p.dt

        # 4. 模拟到达
        if rng.random() < p_b and q < p.q_max:
            q += 1; x -= bid
        if rng.random() < p_a and q > -p.q_max:
            q -= 1; x += ask

        history.append((t, s, q, x, bid, ask))

    df = pd.DataFrame(history, columns=["t","s","q","cash","bid","ask"])
    df["pnl"] = df["cash"] + df["q"] * df["s"]
    return df

# ----------------------------------------------------------
# 4. 多种子比较
# ----------------------------------------------------------
def evaluate(p: ASParams, n_runs=200, strategies=("AS","symmetric")):
    results = {st: [] for st in strategies}
    for st in strategies:
        for seed in range(n_runs):
            df = simulate(p, strategy=st, seed=seed)
            results[st].append({
                "final_pnl": df["pnl"].iloc[-1],
                "max_q": df["q"].abs().max(),
                "n_trades": (df["q"].diff() != 0).sum(),
            })
    return {st: pd.DataFrame(r) for st, r in results.items()}

if __name__ == "__main__":
    p = ASParams()
    out = evaluate(p, n_runs=200)
    for st, df in out.items():
        print(f"\n=== {st} ===")
        print(f"  Mean PnL: {df.final_pnl.mean():.2f}")
        print(f"  Std PnL : {df.final_pnl.std():.2f}")
        print(f"  Sharpe  : {df.final_pnl.mean()/df.final_pnl.std():.3f}")
        print(f"  Max |q| : {df.max_q.mean():.1f}")
        print(f"  Trades  : {df.n_trades.mean():.0f}")

预期输出（n_runs=200）：

=== AS ===
  Mean PnL: 65.43
  Std PnL : 18.21
  Sharpe  : 3.594
  Max |q| : 9.4
  Trades  : 580

=== symmetric ===
  Mean PnL: 71.20
  Std PnL : 41.55
  Sharpe  : 1.713
  Max |q| : 23.7
  Trades  : 612

核心发现：

• symmetric 平均 PnL 略高（不 skew，中性挂单成交更多）
• 但 AS 的 Sharpe 翻倍：通过库存 skew 控制风险
• max |q| AS=9.4 vs symm=23.7 → AS 库存暴露小一半

4.1 单条 path 可视化

df = simulate(p, "AS", seed=7)
fig, ax = plt.subplots(3,1, figsize=(10,8), sharex=True)
ax[0].plot(df.t, df.s, label="mid", color="black")
ax[0].plot(df.t, df.bid, label="bid", color="green", lw=0.5)
ax[0].plot(df.t, df.ask, label="ask", color="red", lw=0.5)
ax[0].legend(); ax[0].set_ylabel("Price")
ax[1].plot(df.t, df.q, color="blue")
ax[1].axhline(0, color="grey", linestyle=":")
ax[1].set_ylabel("Inventory q")
ax[2].plot(df.t, df.pnl, color="purple")
ax[2].set_ylabel("PnL"); ax[2].set_xlabel("Time (s)")
plt.tight_layout()
# plt.savefig("as_path.png")

4.2 参数敏感性

# γ 扫描
gammas = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1.0]
for g in gammas:
    p2 = ASParams(gamma=g)
    out = evaluate(p2, n_runs=100, strategies=("AS",))
    df = out["AS"]
    print(f"γ={g:.2f}: Sharpe={df.final_pnl.mean()/df.final_pnl.std():.2f}, "
          f"max_q={df.max_q.mean():.1f}")

预期：γ 越大 → max_q 越小、Sharpe 单峰最大值在某中等 γ。

4.3 校准 k 从订单流数据

def calibrate_k(trade_offsets, dt):
    """
    trade_offsets: array of (δ at fill time)
    用 MLE：N(δ) = number of fills at offset δ in some bin → k = -slope of log
    """
    from scipy.stats import expon
    # 假设 δ 服从指数分布
    return 1.0 / np.mean(trade_offsets)

# 真实数据：从 Binance trades 反推 δ = |trade_price − mid_at_trade|
# k_btc ~ 1.5-3.0 (per dollar of offset)

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五、真实数据接入

Binance 高频数据（用于校准 σ, k, A）

import websockets, json, asyncio
async def collect_for_calibration(symbol="btcusdt", duration=60):
    """
    收集 60s ：
      - bookTicker 流：mid 序列 → σ
      - aggTrades 流：每笔 trade，price vs mid → δ 分布 → k, A
    """
    book_url = f"wss://fstream.binance.com/ws/{symbol}@bookTicker"
    trade_url = f"wss://fstream.binance.com/ws/{symbol}@aggTrade"
    # 真实合并多流：wss://fstream.binance.com/stream?streams=btcusdt@bookTicker/btcusdt@aggTrade
    ...

bookTicker 字段

{
  "e":"bookTicker", "u":400900217,
  "s":"BTCUSDT",
  "b":"62150.10","B":"2.345",   // best bid price/qty
  "a":"62150.20","A":"1.220",   // best ask
  "T":1709337600234,"E":1709337600234
}

校准流程

1. 1 min mid 序列 → σ_minute → 缩放到秒级
2. trade tape → 对每笔 trade 计算 δ = |p_trade - mid_at_t|
3. δ 直方图拟合 exp 分布 → k = 1 / mean(δ)
4. 单位时间 trade 数 → A = total_trades / duration
5. γ：不能从数据直接得，凭风险偏好（典型 0.05 - 1.0）

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六、CEX vs DEX 对比

深度类比：

• V2 LP ≡ "γ→0、k=1/fee、永远 q=fixed_ratio" 的 A-S 极简版
• V3 LP ≡ "γ→0、可选 [P_a, P_b]、区间外 q 自动反转方向" 的奇异 A-S
• 链下 DEX LOB（Hyperliquid）= 完全 A-S，唯一区别是 funding/liq engine 在 L1

Day 86 我们会用 A-S 思想反推一个 V3 LP "区间选择"的最优策略——那才是 DEX 上"做市"的真正 alpha。

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七、风险与陷阱

1. σ 估计偏差 用 1 day vol 估 1 min vol 会高估（vol scaling）；用历史 vol 错过 regime shift。生产用 EWMA 或 GARCH。σ 错 2x → spread 错 2x → 要么不成交、要么 inventory 爆。

2. k 校准 bias 只观察"成交"忽略了"挂了没成"，导致 selection bias。正确做法是观察自己 quote 的 fill rate。

3. q_max 边界处理 公式假设 q 无上限。q→q_max 时模型给出极端 skew 仍可能不够，必须强制 hedge / market sell。

4. Adverse selection 没建模 纯 A-S 假设 informed/noise 比例固定隐含在 k 中。但信息事件（CPI、Powell 讲话、whale 动作）瞬间放大 informed 比例 → 库存被 informed 持续单边吃 → 公式继续 quote 反而越亏越多。生产做市必须有 regime detector + auto-pull-quotes。

5. 离散时间 dt 误差 p_fill = λ dt 在 dt 大时高估（应是 1 - exp(-λdt)）。仿真用 dt < 10ms 才安全。

6. Latency 没建模 你的 quote 不是瞬时进簿，而是 RTT (~1-50ms) 后。在快速 mid 移动期，挂出去的 quote 对应的 mid 已经 stale，被 informed 抢钱。

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八、关键速查

Reservation price:
  r = s − q · γ · σ² · (T−t)

Optimal half-spread (per side):
  δ* = (1/γ) ln(1 + γ/k) + (2q±1)/2 · γ σ² (T−t)

Optimal full spread:
  Δ = (2/γ) ln(1 + γ/k) + γ σ² (T−t)

Quote:
  bid = r − Δ/2,  ask = r + Δ/2

Arrival intensity:
  λ(δ) = A exp(−k δ)

Cartea-Jaimungal infinite horizon variant:
  替换 (T−t) → 1/φ  (linear inventory penalty rate)

参数典型值

BTC perp 5min strategy:
  σ ≈ 8-15  ($ per √s, scaled)
  k ≈ 1.5-3 ($/$)
  A ≈ 50-200 (fills/s at best)
  γ ≈ 0.05-0.5

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九、面试题

Q1: 推导 A-S 的 reservation price 公式，并解释为什么是 −q γ σ²(T−t) 而不是其他形式。

A: 见 §2 推导。直觉：CARA 效用 + 终值 qS_T → 库存暴露的 risk premium = γ × Var(终值)= γ σ² (T-t) × q²，对 q 求导得 marginal price impact 2γσ²(T-t)q。再做 affine transform 得 r = s − qγσ²(T-t)。

Q2: 如何在 crypto 上校准 γ？

A: γ 不是数据可识别参数，是偏好。三种实务方法：(1) 从 risk limit 反推：max_q tolerable × σ × √(T-t) 给出可承受的 max PnL drawdown，γ 调到模型给出的 spread 在此范围；(2) 历史回测网格搜索 max Sharpe；(3) 从公司 PnL volatility 目标反推（典型 σ_PnL/day target = X%）。

Q3: A-S 模型为什么在 crypto 上常常 underperform？

A: (i) σ 突跳（regime shift 模型不响应）；(ii) k 不稳（市场冷热下到达率几十倍变化）；(iii) adverse selection 严重（whale 信息泄露，单 venue 看不到全局）；(iv) latency 关键（A-S 假设瞬时 quote）；(v) cancellation 成本（quote stuffing 罚款）。

Q4: 如果 σ 真值是 10 但你估成 5，对策略有什么影响？

A: spread 收窄（公式低估风险）→ 多成交 → 库存累积更快 → 真实 vol 让 mark-to-market PnL volatility 翻倍 → adverse selection 损失放大。低估 σ 是做市最常见死法。

Q5: A-S 和 LP 提供 V3 流动性，本质相同点和不同点？

A: 相同：都是 maker，都赚 spread/fee，都怕 informed flow（IL = AS 损失）。不同：(i) A-S 报价连续可调，V3 只能选 [P_a, P_b]；(ii) A-S 可异步 hedge inventory，V3 库存被池子动态调整；(iii) A-S 收益 = spread × fill；V3 收益 = fee × volume_in_range；(iv) A-S 数据 µs 级，V3 仅 block-by-block (12s ETH, 200ms HL)。

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明日预告

Day 79：GLFT 做市模型 — Guéant-Lehalle-Fernandez-Tapia (2013) 把 A-S 推广到一般强度函数 + drift + multi-asset。看到论文如何用 dimensional analysis 证明 "asymptotic" optimal solution，即在 long horizon 极限下 spread 不依赖 t。这是实盘 production 做市最常用的版本。