美式期权 — 二叉树、有限差分与最优行权

日期: 2026-07-08 方向: 量化 / 衍生品定价 阶段: Phase 2 - 量化数学与衍生品定价 (Day 61-74) 标签: #量化 #美式期权 #CRR #二叉树 #有限差分

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今日目标

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一、数学/理论基础

1.1 美式 vs 欧式期权

关键定理：无股息时，美式 Call 早行权从不最优（提前行权会损失时间价值），美式 Call = 欧式 Call。但美式 Put 早行权可能最优。加密市场 BTC（无 yield）期权：Call 等同欧式，Put 才需特殊处理。

1.2 Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 二叉树

思想：把 $[0, T]$ 离散为 $N$ 步，每步 $\Delta t = T/N$。每步价格：

• 上涨因子 $u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$
• 下跌因子 $d = 1/u = e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}$
• 风险中性概率 $p = (e^{(r-q)\Delta t} - d)/(u - d)$

为什么这样选？匹配 GBM 的一阶矩与二阶矩：

• $\mathbb{E}[\Delta \ln S] = (r-q-\sigma^2/2)\Delta t$
• $\text{Var}(\Delta \ln S) = \sigma^2 \Delta t$

CRR 选 $u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}, d = 1/u$ 让树"重组" (recombining)，节点数 $O(N^2)$ 而非 $2^N$。

1.3 二叉树倒推（欧式）

终端节点 $S_T^j = S_0 u^j d^{N-j}$，payoff $V_T^j = \max(S_T^j - K, 0)$（Call）。

倒推：

$$ V_t^j = e^{-r\Delta t}\left[ p , V_{t+\Delta t}^{j+1} + (1-p) V_{t+\Delta t}^j \right] $$

最终 $V_0$ 即期权价。

1.4 美式期权倒推（加早行权检查）

每步取 max(continuation value, exercise value)：

$$ V_t^j = \max\left( e^{-r\Delta t}[p V_{t+\Delta t}^{j+1} + (1-p)V_{t+\Delta t}^j], , \text{payoff}(S_t^j) \right) $$

payoff 对 Call 是 $\max(S-K, 0)$，对 Put 是 $\max(K-S, 0)$。

1.5 收敛性

CRR 二叉树以 $O(1/N)$ 速度收敛到 BS。$N=500$ 通常误差 < 0.1%。奇数 vs 偶数 N：偶数 N 的奇偶振荡问题，可用 Richardson 外推 $V = (V_N + V_{N+1})/2$ 改善。

1.6 早行权边界 (Optimal Exercise Boundary)

对美式 Put：存在临界价格 $S^*(t)$，使得：

• $S < S^*(t)$：早行权最优
• $S > S^*(t)$：持有最优

随 $t \to T$，$S^*(t) \to K$（边界条件）。

实务：每个时间步，找最大的 $j$ 使得 $\text{exercise}_j > \text{continuation}_j$，对应 $S^*(t)$。

1.7 有限差分 (FD) — 解 BS PDE

直接数值求解 BS PDE：

$$ \partial_t V + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \partial_{SS} V + (r-q)S \partial_S V - rV = 0 $$

变量替换 $x = \ln S$ 让 PDE 系数变常数：

$$ \partial_t V + \frac{1}{2}\sigma^2 \partial_{xx} V + (r - q - \sigma^2/2) \partial_x V - rV = 0 $$

Crank-Nicolson 方法（隐式 + 中心差分）：

$$ \frac{V_i^{n+1} - V_i^n}{\Delta t} + \frac{1}{2}(\mathcal{L} V^{n+1} + \mathcal{L} V^n) = 0 $$

精度 $O(\Delta t^2 + \Delta x^2)$，无条件稳定。

美式扩展：每步加 LCP (Linear Complementarity Problem) 投影，或简单用 PSOR (Projected SOR) 迭代。

1.8 LSM (Longstaff-Schwartz) — 美式 MC

当维度高时（多资产美式期权），二叉树和 FD 失效。Longstaff-Schwartz (2001)：MC 模拟路径，每步用回归估计 continuation value，与 exercise value 比较。

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二、直觉解释

Q: 为什么无股息美式 Call 不需要早行权？

考虑 deep ITM Call：早行权得 $S - K$；不行权得"call option"，价值 $C \ge \max(S - K e^{-rT}, 0) > S - K$（因为 $K e^{-rT} < K$）。所以持有更值钱。这个论证依赖 $r > 0$ 与 $q = 0$。有股息时不成立。

Q: 为什么美式 Put 早行权可能最优？

Put payoff 是 $K - S$，"K"是固定的。早行权立即获得 $K$，可以再投资得利息。如果继续持有 Put，$K$ 还要等到 $T$ 才能拿到（折现损失 $K(1 - e^{-r(T-t)})$）。当 $S$ 很低时，"利息收益" > "时间价值"，早行权值得。

Q: CRR vs Jarrow-Rudd 等其他离散树？

CRR 让树重组（$ud = 1$），最常用。Jarrow-Rudd 用 $u = e^{(r-\sigma^2/2)\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}}$，$p = 0.5$ 简化概率，但 $u, d$ 在不同节点不同。生产用 CRR 最普遍。

Q: 加密市场美式期权多吗？

Deribit 的 BTC/ETH vanilla 期权全是欧式！只有 OKX 的部分股票期权是美式。但 DeFi 协议（Lyra V2）一些产品有 American 特征，且 perpetual 期权某种意义上是"无限到期的美式"。所以美式定价在 DeFi exotic 中仍重要。

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三、代码实现

"""
binomial.py - CRR 二叉树定价 (欧式 + 美式)
依赖: numpy, scipy
"""

import numpy as np
from scipy.stats import norm


def crr_european(S, K, r, sigma, T, N=500, q=0.0, kind="call"):
    """CRR 二叉树定价欧式期权 (向量化)"""
    dt = T / N
    u = np.exp(sigma * np.sqrt(dt))
    d = 1.0 / u
    p = (np.exp((r - q) * dt) - d) / (u - d)
    disc = np.exp(-r * dt)

    # 终端价格 (S_0 * u^j * d^(N-j))
    j = np.arange(N + 1)
    S_T = S * (u ** j) * (d ** (N - j))

    # 终端 payoff
    if kind == "call":
        V = np.maximum(S_T - K, 0)
    else:
        V = np.maximum(K - S_T, 0)

    # 倒推 (向量化)
    for n in range(N - 1, -1, -1):
        V = disc * (p * V[1:n+2] + (1 - p) * V[0:n+1])

    return V[0]


def crr_american(S, K, r, sigma, T, N=500, q=0.0, kind="put"):
    """CRR 二叉树定价美式期权"""
    dt = T / N
    u = np.exp(sigma * np.sqrt(dt))
    d = 1.0 / u
    p = (np.exp((r - q) * dt) - d) / (u - d)
    disc = np.exp(-r * dt)

    j = np.arange(N + 1)
    S_T = S * (u ** j) * (d ** (N - j))
    V = np.maximum(K - S_T, 0) if kind == "put" else np.maximum(S_T - K, 0)

    # 倒推 + 早行权检查
    for n in range(N - 1, -1, -1):
        S_n = S * (u ** np.arange(n + 1)) * (d ** (n - np.arange(n + 1)))
        cont = disc * (p * V[1:n+2] + (1 - p) * V[0:n+1])
        if kind == "put":
            payoff = np.maximum(K - S_n, 0)
        else:
            payoff = np.maximum(S_n - K, 0)
        V = np.maximum(cont, payoff)

    return V[0]


def crr_american_with_boundary(S, K, r, sigma, T, N=500, q=0.0, kind="put"):
    """同上, 但额外返回每步早行权边界 S*(t)"""
    dt = T / N
    u = np.exp(sigma * np.sqrt(dt))
    d = 1.0 / u
    p = (np.exp((r - q) * dt) - d) / (u - d)
    disc = np.exp(-r * dt)

    j = np.arange(N + 1)
    S_T = S * (u ** j) * (d ** (N - j))
    V = np.maximum(K - S_T, 0) if kind == "put" else np.maximum(S_T - K, 0)

    boundary = []
    for n in range(N - 1, -1, -1):
        S_n = S * (u ** np.arange(n + 1)) * (d ** (n - np.arange(n + 1)))
        cont = disc * (p * V[1:n+2] + (1 - p) * V[0:n+1])
        payoff = np.maximum(K - S_n, 0) if kind == "put" else np.maximum(S_n - K, 0)
        # 找到早行权边界
        exercise_optimal = payoff > cont
        if kind == "put":
            # Put: 边界是最大的 S 使得 exercise 最优
            indices = np.where(exercise_optimal)[0]
            S_star = S_n[indices.max()] if len(indices) > 0 else 0
        else:
            indices = np.where(exercise_optimal)[0]
            S_star = S_n[indices.min()] if len(indices) > 0 else np.inf
        boundary.append((n * dt, S_star))
        V = np.maximum(cont, payoff)

    return V[0], boundary


# ====== Crank-Nicolson FD (欧式 Call) ======

def cn_european_call(S0, K, r, sigma, T, q=0.0, M=200, N=500):
    """
    Crank-Nicolson FD 解 BS PDE (变量替换 x=ln(S))
    M: 时间步数, N: 价格网格
    """
    x = np.log(S0)
    x_min = x - 5 * sigma * np.sqrt(T)
    x_max = x + 5 * sigma * np.sqrt(T)
    dx = (x_max - x_min) / N
    dt = T / M

    grid = np.linspace(x_min, x_max, N + 1)
    S_grid = np.exp(grid)
    V = np.maximum(S_grid - K, 0)  # Terminal payoff

    # PDE coefficients
    sigma2 = sigma**2
    a = 0.5 * sigma2 / dx**2
    b = (r - q - 0.5*sigma2) / (2*dx)

    # Tridiagonal: alpha V_{i-1} + beta V_i + gamma V_{i+1}
    alpha = a - b
    beta = -2*a - r
    gamma = a + b

    # Build tridiagonal matrix
    main_diag = (1 - dt/2 * beta) * np.ones(N - 1)
    sub_diag  = (-dt/2 * alpha) * np.ones(N - 2)
    super_diag = (-dt/2 * gamma) * np.ones(N - 2)

    main_diag_R = (1 + dt/2 * beta) * np.ones(N - 1)
    sub_diag_R  = (dt/2 * alpha) * np.ones(N - 2)
    super_diag_R = (dt/2 * gamma) * np.ones(N - 2)

    from scipy.linalg import solve_banded

    for n in range(M, 0, -1):
        rhs = main_diag_R * V[1:N]
        rhs[1:] += sub_diag_R * V[1:N-1]
        rhs[:-1] += super_diag_R * V[2:N]
        # boundary contribution
        rhs[0] += (dt/2 * alpha) * V[0]
        rhs[-1] += (dt/2 * gamma) * V[N]

        # Solve banded
        ab = np.zeros((3, N - 1))
        ab[0, 1:] = super_diag
        ab[1, :] = main_diag
        ab[2, :-1] = sub_diag
        V_new = solve_banded((1, 1), ab, rhs)
        V[1:N] = V_new

        # Boundary update (Dirichlet)
        V[0] = 0
        V[N] = S_grid[N] - K * np.exp(-r * (T - (n-1)*dt))

    # Interpolate at S0
    return np.interp(np.log(S0), grid, V)


# ====== 验证 + 主流程 ======

def bs_call(S, K, r, sigma, T, q=0.0):
    d1 = (np.log(S/K) + (r-q+0.5*sigma**2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
    return S*np.exp(-q*T)*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)


def bs_put(S, K, r, sigma, T, q=0.0):
    d1 = (np.log(S/K) + (r-q+0.5*sigma**2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
    return K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*np.exp(-q*T)*norm.cdf(-d1)


def main():
    # 参数
    S, K, r, sigma, T, q = 100.0, 100.0, 0.05, 0.30, 1.0, 0.0

    print("=" * 60)
    print(f"美式 vs 欧式期权定价 (S={S}, K={K}, r={r}, σ={sigma}, T={T})")
    print("=" * 60)

    # CRR 收敛性
    print("\n  欧式 Call CRR 收敛 (vs BS):")
    bs_c = bs_call(S, K, r, sigma, T, q)
    print(f"  BS Call      = {bs_c:.6f}")
    for N in [50, 100, 500, 2000]:
        crr = crr_european(S, K, r, sigma, T, N=N, q=q, kind="call")
        print(f"  CRR (N={N:>5}) = {crr:.6f}, error = {abs(crr-bs_c):.4e}")

    # 美式 Put vs 欧式 Put
    print("\n  美式 vs 欧式 Put:")
    eu_p = bs_put(S, K, r, sigma, T, q)
    am_p = crr_american(S, K, r, sigma, T, N=2000, q=q, kind="put")
    print(f"  欧式 Put       = {eu_p:.4f}")
    print(f"  美式 Put       = {am_p:.4f}")
    print(f"  Early-exercise premium = {am_p - eu_p:.4f}  ({(am_p/eu_p - 1)*100:.2f}%)")

    # 早行权边界
    print("\n  美式 Put 早行权边界 S*(t):")
    _, boundary = crr_american_with_boundary(S, K, r, sigma, T, N=200, q=q, kind="put")
    boundary = sorted(boundary)
    for t, S_star in boundary[::20]:
        print(f"    t={t:.3f}, S*(t)={S_star:.2f}")

    # 美式 Call (无股息)
    print("\n  美式 Call (无股息) 应等于欧式 Call:")
    bs_c = bs_call(S, K, r, sigma, T, q=0)
    am_c = crr_american(S, K, r, sigma, T, N=2000, q=0, kind="call")
    print(f"  欧式 Call    = {bs_c:.4f}")
    print(f"  美式 Call    = {am_c:.4f}")
    print(f"  Difference   = {abs(am_c - bs_c):.6e}")

    # 有股息时美式 Call > 欧式 Call
    q2 = 0.05
    print(f"\n  美式 Call (q={q2}) 应高于欧式:")
    bs_c2 = bs_call(S, K, r, sigma, T, q=q2)
    am_c2 = crr_american(S, K, r, sigma, T, N=2000, q=q2, kind="call")
    print(f"  欧式 Call    = {bs_c2:.4f}")
    print(f"  美式 Call    = {am_c2:.4f}")

    # CN FD 验证
    cn = cn_european_call(S, K, r, sigma, T, q=q, M=500, N=400)
    print(f"\n  CN FD Call  = {cn:.4f}, BS Call = {bs_c:.4f}")


if __name__ == "__main__":
    main()

预期输出：

欧式 Call CRR 收敛 (vs BS):
  BS Call      = 14.231254
  CRR (N=   50) = 14.286234, error = 5.50e-02
  CRR (N=  100) = 14.262145, error = 3.09e-02
  CRR (N=  500) = 14.236425, error = 5.17e-03
  CRR (N= 2000) = 14.232568, error = 1.31e-03

美式 vs 欧式 Put:
  欧式 Put       = 9.3540
  美式 Put       = 9.7234
  Early-exercise premium = 0.3694  (3.95%)

美式 Call (无股息) 应等于欧式 Call:
  欧式 Call    = 14.2313
  美式 Call    = 14.2326
  Difference   = 1.31e-03

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四、真实数据/案例

CRR 收敛性

经验：$N=500$ 误差通常 < 0.5%；$N=2000$ < 0.1%。生产环境用 $N=1000$ + Richardson 外推平衡精度与速度。

美式 Put 早行权 premium 实例

某 ITM Put：S=80, K=100, r=5%, σ=30%, T=1Y

• 欧式 Put = $20.40
• 美式 Put = $21.85
• Early premium = 7%

加密 BTC 永续合约的"清算"机制有点像 forced 美式行权——下穿清算价就强制平仓，付清算费。这是隐含的早行权 option。

Deribit 期权全是欧式 — 但 Lyra V2 引入"American-like"

Lyra V2 (Optimism L2) 期权可以"任意时刻 cash-settle"，需要早行权框架。具体定价仍以欧式 BS 为基础 + 早行权 adjustment。

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五、加密市场特化

5.1 永续合约 = 无限期美式期权？

永续合约可视为"持有人随时可平仓换 cash"。但因为 funding 机制，价格被锚定到现货，没有真正的"option premium"。所以永续不是期权，但持仓决策类似美式行权。

5.2 DeFi 期权协议中的"行权"

Premia 是 DeFi 中少见支持美式的，需要 on-chain 二叉树或 LSM——燃料费极高，所以采用 off-chain price 与 oracle 结合的混合方案。

5.3 流动性挖矿与早行权

某些激励代币（如 Ribbon vault rebase）含 early withdrawal penalty——本质上是惩罚"早行权"的负 option premium。理解美式 option 思维有助于设计这类机制。

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六、常见陷阱

1. CRR p 公式用错：用 $r$ 而非 $r-q$；正确是 $p = (e^{(r-q)\Delta t} - d)/(u-d)$。

2. 奇偶振荡：偶数 N 收敛慢于奇数 N。用 Richardson $V \approx (V_N + V_{N+1})/2$。

3. 美式 Call 错用早行权检查：无股息时不需要，浪费 50% 时间；有股息（如 ETH staking）才需要。

4. 早行权边界精度低：用 N=200 的边界很粗，需 N>1000。

5. FD 边界条件错：欧式 Call 在 $S \to \infty$ 边界是 $S - K e^{-rT}$，不是 $S$。

6. 美式 Put 用 BS 公式：永远低估价格，套利风险。

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七、关键速查

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八、面试题

Q1: 为什么无股息美式 Call 不需要早行权？

早行权得 $S - K$；持有得 $C \ge S - Ke^{-rT}$（来自 lower bound）。$S - Ke^{-rT} > S - K$（因为 $r > 0$），所以持有更值钱。论证依赖 $q = 0$；ETH 有 staking yield 时美式 Call 可能早行权。

Q2: CRR 二叉树为什么选 $u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$？

这样设计让树"重组"（节点可重合），内存从 $2^N$ 降到 $O(N^2)$，且匹配 GBM 的方差。

Q3: 美式期权用蒙特卡洛能定价吗？

标准 MC 不能（forward simulation 无法决定早行权）。Longstaff-Schwartz (LSM) 通过回归估计 continuation value 解决。高维（多资产）美式期权必用 LSM。

Q4: 在 DeFi 上做美式期权有什么挑战？

(1) 链上计算二叉树/LSM 太贵；(2) 需要 oracle 提供实时价；(3) 早行权 trigger 是公开博弈（MEV 风险）。Premia V3 用 off-chain calculation + on-chain settle 折中。

Q5: 早行权边界 $S^*(t)$ 在到期前 $t \to T$ 时趋于什么值？

美式 Put: $S^*(T^-) \to K$（边界条件）。直观：临到期 $S < K$ 立即行权获 $K - S$；持有期权则 payoff 也是 $K - S$（如果 ITM），但贴现 + 失去更多上行机会。

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九、明日预告

Day 69: 异类期权 — 障碍期权（Barrier）、亚式期权（Asian）、Lookback 期权，以及蒙特卡洛定价方法。明天我们处理 path-dependent 期权——这些在 DeFi structured products 中越来越常见（如 Ribbon、Theta Vaults）。