时序数据基础 — return / Sharpe / MaxDD / Calmar

日期: 2026-05-13 方向: 个人量化交易 / 时序统计指标 阶段: Phase 1: 基础与工具链 标签: #Returns #LogReturn #Sharpe #MaxDrawdown #Calmar #Sortino #Annualization #DeflatedSharpe

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今日目标

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一、为什么 Day 4 必须先把指标算清楚

学过统计的人对均值方差很熟，但量化里最常见的 bug 不是写错模型，是写错指标。

我做了 10 年金融零售产品，见过太多次"看起来很好"的报告，最后发现：

• CAGR 用了算术平均而不是几何平均，把 $1 → $2 → $1$ 的轨迹算成了「平均 +25%/年」
• Sharpe 没减无风险利率，把所有股票策略 Sharpe 都抬高了 0.3
• Annualized vol 混了 daily 和 monthly 因子，结果 σ 差了 √(252/12) ≈ 4.6 倍
• MaxDD 从 cum return 算而不是从 equity curve 算，结果完全错

这些都不是难题，是默认值的陷阱——你不亲手写一遍永远不知道边界在哪。所以 Day 4 的核心目标是：自己写一套，跑一遍 SPY，每个数字都能解释清楚为什么是这个值。后续 80 天所有回测、所有策略评估、所有面试题，都靠这套地基。

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二、收益率：simple vs log，最容易踩的坑

2.1 两种定义

设 $P_t$ 为 $t$ 时刻的价格（含分红再投资）：

$$ r_t^{\text{simple}} = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} $$

$$ r_t^{\text{log}} = \ln \frac{P_t}{P_{t-1}} $$

二者关系：$r^{\text{log}} = \ln(1 + r^{\text{simple}})$。当 $r$ 很小时（日内 ~1%）两者数值接近，但累积起来差异会发酵。

2.2 关键性质（必须背下来）

2.3 为什么这个区分是个关键坑

记住一个判别口诀：

跨时间累积用 log，跨资产加权用 simple。

例 1：跨期累积

• 三天收益 +10%, -5%, +3%（simple）
• 总收益 simple：$(1.10)(0.95)(1.03) - 1 = 7.64%$
• 用 log：$\ln(1.10) + \ln(0.95) + \ln(1.03) = 0.0953 - 0.0513 + 0.0296 = 0.0736$
• 转回 simple：$e^{0.0736} - 1 = 7.64%$ ✓
• 但不能直接把三个 simple return 相加（=8% 错）

例 2：横截面加权（组合）

• 50% SPY (+10%) + 50% QQQ (+20%)
• 组合 simple return：$0.5 \times 10% + 0.5 \times 20% = 15%$ ✓
• 用 log：$0.5 \times \ln(1.1) + 0.5 \times \ln(1.2) = 0.5 \times 0.0953 + 0.5 \times 0.1823 = 0.1388$ → $e^{0.1388} - 1 = 14.9%$ ❌（接近但错）

这是因为 $\ln(\sum w_i x_i) \neq \sum w_i \ln(x_i)$（Jensen 不等式）。

2.4 实操约定

在我后续所有代码里，默认存 log return（叫 log_ret 或 r），然后：

• 累积 PnL：cum_log = log_ret.cumsum()，equity = exp(cum_log)
• 算波动率、Sharpe：直接用 log return（因为正态性更好）
• 算组合收益：先把 log 转回 simple，加权后再转回 log

只有在收益足够小（日内 <2%）的场景下，才偷懒认为 $r^{\log} \approx r^{\text{simple}}$。

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三、年化（Annualization）：252 还是 365？

3.1 谁对？

答：交易日（252）。 但前提你的 return series 是「交易日序列」（无周末、节假日跳空当成一根 bar）。

为什么不是 365？因为 return 只在交易日产生——周末持仓不产生新的 daily return（只有 overnight gap 在周一一次性反映）。如果你用 365，相当于平白无故增加了 113 个零，会把 σ 严重低估、Sharpe 严重高估。

加密货币例外：BTC/ETH 7×24，用 365（甚至 366 闰年要小心）。

3.2 收益与波动率的年化

i.i.d. 假设下：

$$ \mu_{\text{annual}} = 252 \cdot \mu_{\text{daily}} $$

$$ \sigma_{\text{annual}} = \sqrt{252} \cdot \sigma_{\text{daily}} $$

来自一个简单事实：i.i.d. 累加，期望线性叠加（×n），方差线性叠加（×n），标准差是 √n。

Var(r_1 + r_2 + ... + r_n) = n * σ²    (独立)
σ(annual) = sqrt(n) * σ(daily) = sqrt(252) * σ_d

3.3 i.i.d. 假设何时失效

实际市场不满足 i.i.d.，主要三种偏离：

1. 自相关（autocorrelation）：

   • 趋势市：$\rho > 0$，实际 σ 比 √n 放大的更多
   • 均值回归市：$\rho < 0$，实际 σ 比 √n 放大的更少
   • 修正：用 Newey-West HAC 估计或 block bootstrap

2. 波动率聚集（volatility clustering / GARCH effect）：

   • 高波动跟着高波动，σ 本身不是常数
   • 一年里有几天 ±5%，其他天 ±0.5%，平均 σ 严重低估尾部
   • 修正：分时段算 σ，或者用 EWMA / GARCH

3. 肥尾（fat tails）：

   • 真实股票 return 接近 t 分布（df ≈ 4-6），不是正态
   • σ 还在，但 σ 不再能描述全部风险
   • 修正：补充 VaR、CVaR、最大单日跌幅、kurtosis

实操态度：接受年化只是个粗估，年化 σ 报出来是为了让不同频率的策略可比，不是绝对真理。任何严肃决策同时看 MaxDD。

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四、Sharpe Ratio：最常用也最常错

4.1 定义

$$ \text{Sharpe} = \frac{R_p - R_f}{\sigma_p} $$

$R_p$ = 组合年化收益率，$R_f$ = 无风险收益率，$\sigma_p$ = 组合年化波动率。

直觉：每承担 1 单位波动，相对无风险多赚多少超额收益。 单位是「无量纲」的。

4.2 实操：$R_f$ 用什么？

我们的约定：用 FRED 的 DGS3MO（13-week T-Bill），按日匹配，年化值 / 252 当成日度 $R_f$。

import pandas_datareader.data as web
rf = web.DataReader('DGS3MO', 'fred', '2014-01-01', '2024-12-31')['DGS3MO'] / 100
rf_daily = rf / 252  # 把年化利率拆成日度

注意：FRED 给的是百分比形式（5.25 表示 5.25%），别忘了 /100。

4.3 样本 Sharpe 的偏差：小样本会高估

这是一条几乎所有教科书都没强调够的事实。

样本 Sharpe $\hat{S}$ 是个估计量，其分布在 i.i.d. 正态假设下：

$$ \text{Var}(\hat{S}) \approx \frac{1 + \frac{1}{2} S^2}{n} $$

$n$ 是样本数。$n = 252$（一年日度）时 std ≈ 0.07，$n = 60$（一季日度）时 std ≈ 0.15。回测一个月跑出 Sharpe = 2 完全可能是噪声。

更严重的是 multiple testing bias：你试了 100 个策略，最好的那个 Sharpe 自然偏高——这是 p-hacking 在量化里的化身。

4.4 Deflated Sharpe Ratio (López de Prado, 2014)

Marcos López de Prado（《Advances in Financial Machine Learning》作者）提出 Deflated Sharpe，本质是：

给定你试了 $N$ 个策略，最好的那个的 Sharpe 必须显著超过随机游走能产生的最大 Sharpe，才算真有 alpha。

简化公式：

$$ \text{DSR} = \Phi\left( \frac{(\hat{S} - S_0) \sqrt{n - 1}}{\sqrt{1 - \gamma_3 \hat{S} + \frac{\gamma_4 - 1}{4} \hat{S}^2}} \right) $$

其中 $S_0$ 是「在 N 次试验下，假设真 Sharpe = 0，能产生的最大 Sharpe 期望」，$\gamma_3, \gamma_4$ 是 return 的偏度和峰度。

结论级用法（不深究公式）：

我后面跑回测会全程记录尝试次数，遇到 Sharpe > 2 的先怀疑数据泄漏（look-ahead bias / survivorship）和过拟合（参数搜索过度）。

4.5 经验阈值（直觉记忆表）

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五、Maximum Drawdown：情绪能不能撑下去的指标

5.1 定义

设 $V_t$ 为 $t$ 时刻账户净值（equity curve），$M_t = \max_{s \le t} V_s$ 为历史最高水位线。

$$ \text{DD}_t = \frac{V_t - M_t}{M_t} \le 0 $$

$$ \text{MaxDD} = \min_t \text{DD}_t $$

通常 MaxDD 用绝对值表示（如 -28% 写成 28%）。

5.2 计算（Pandas 三行）

equity = (1 + returns).cumprod()      # equity curve from simple returns
running_max = equity.cummax()
drawdown = equity / running_max - 1   # 一直 ≤ 0
maxdd = drawdown.min()

注意陷阱：

• 必须从 equity curve 算（含复利），不能从 cumulative return 算（线性叠加）
• 如果用 log return，先 equity = np.exp(log_ret.cumsum()) 再算
• 起点的水位线一定要包含初始 1.0，否则第一天就回撤会被错过

5.3 Drawdown Duration & Recovery Time

MaxDD 只说多深，不说多久。两个补充指标：

SPY 2008 金融危机：MaxDD ≈ -55%，recovery 用了 ~5 年。这意味着如果你在 2007 年高点 all-in，到 2013 年才能回本——绝大多数人扛不到那时候。

5.4 为什么 MaxDD 比 σ 更接近"真实风险"

• σ 是对称的（涨跌都算），但人对亏损的痛感是收益快感的 2-3 倍（Kahneman 的 prospect theory）
• σ 是平均意义，但爆仓只需要一次——平均没用，最大值才致命
• σ 不反映持续时间，但持续 18 个月的 -25% 比一周 -25% 难熬得多
• σ 假设正态，但MaxDD 的发生场景往往是肥尾事件（COVID / 2008 / 1987）

PM 视角：σ 是给会议室看的，MaxDD 是给本人晚上睡觉时摸良心问的。

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六、Calmar Ratio：把 MaxDD 当分母

6.1 定义

$$ \text{Calmar} = \frac{\text{CAGR}}{|\text{MaxDD}|} $$

通常用过去 36 个月（3 年）的数据计算。

6.2 解读

$\text{Calmar} = 1$ 意味着赚到的 CAGR 等于最差年份的回撤。

6.3 与 Sharpe 的关系

• Sharpe 看的是全样本波动，Calmar 看的是最差点的痛
• Sharpe 高 + Calmar 低 → 平时很稳但偶尔大跳（典型卖期权策略 / 套利策略）
• Sharpe 低 + Calmar 高 → 波动大但没有真正的灾难（某些动量策略）
• 两个一起看，能识别**「捡硬币在压路机前」**的伪低风险策略

经典反例：LTCM 在 1998 年崩盘前 4 年 Sharpe 接近 4，但策略的 tail risk 让 Calmar 一夜归零。

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七、Sortino Ratio：只惩罚下行波动

7.1 动机

Sharpe 把所有波动当风险，但上行波动是好事——你不会因为某天 +5% 难受。Sortino 修正这一点：分母只用下行波动。

7.2 定义

$$ \text{Sortino} = \frac{R_p - R_f}{\sigma_d} $$

$$ \sigma_d = \sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{t : r_t < \tau} (r_t - \tau)^2 } $$

$\tau$ 是目标收益率（target / MAR），通常取 0 或 $R_f$。$\sigma_d$ 只对低于 $\tau$ 的样本求方差。

7.3 与 Sharpe 的关系

• 对正偏分布（赚多亏少）：Sortino > Sharpe
• 对负偏分布（赚少亏多）：Sortino < Sharpe
• 对对称分布：两者接近 √2 倍关系（理论上）

实操中 Sortino 比 Sharpe 数值通常高 20-50%。别和别人比对错指标——比 Sharpe 时只比 Sharpe，比 Sortino 时只比 Sortino。

7.4 实战何时用

• 卖期权 / 收 premium 类策略：用 Sortino，因为分布天然左偏，Sharpe 会被尾部拖低
• 趋势策略（动量）：用 Sortino 友好，因为大多数大涨被算进了"好波动"
• 长期被动持有（buy-and-hold SPY）：Sharpe 已经够，Sortino 信息增量小

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八、其他必备指标（顺手提一下，Day 12 详细做）

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九、代码实操：自己写一套 metrics

9.1 设计原则

• 输入：pandas Series of simple daily returns（不是价格、不是 log return）
• 输出：dict，含所有指标
• 不依赖 quantstats / pyfolio（教学目的，下次自己能调试）
• 每个函数独立可测

9.2 完整代码

# tr_metrics.py
"""
Hand-rolled performance metrics for daily simple-return series.
For TR Day 4 — no external metrics libraries.
"""
import numpy as np
import pandas as pd


# ----------- 基础工具 -----------

def equity_curve(returns: pd.Series, start: float = 1.0) -> pd.Series:
    """Compound a simple-return series into an equity curve."""
    return (1.0 + returns).cumprod() * start


def to_log_return(simple: pd.Series) -> pd.Series:
    return np.log1p(simple)


def to_simple_return(log: pd.Series) -> pd.Series:
    return np.expm1(log)


# ----------- 收益与波动 -----------

def cagr(returns: pd.Series, periods_per_year: int = 252) -> float:
    """Compound Annual Growth Rate (geometric)."""
    eq = equity_curve(returns)
    n_years = len(returns) / periods_per_year
    if n_years <= 0:
        return np.nan
    return eq.iloc[-1] ** (1 / n_years) - 1


def annual_volatility(returns: pd.Series, periods_per_year: int = 252) -> float:
    return returns.std(ddof=1) * np.sqrt(periods_per_year)


def annual_return_arith(returns: pd.Series, periods_per_year: int = 252) -> float:
    """Arithmetic mean annualized — almost always you want CAGR instead."""
    return returns.mean() * periods_per_year


# ----------- Sharpe 家族 -----------

def sharpe_ratio(
    returns: pd.Series,
    rf_daily: float | pd.Series = 0.0,
    periods_per_year: int = 252,
) -> float:
    """
    Annualized Sharpe.
    rf_daily: daily risk-free rate (scalar or Series indexed like returns).
    """
    excess = returns - rf_daily
    sigma = excess.std(ddof=1)
    if sigma == 0 or np.isnan(sigma):
        return np.nan
    return np.sqrt(periods_per_year) * excess.mean() / sigma


def sortino_ratio(
    returns: pd.Series,
    target: float = 0.0,
    periods_per_year: int = 252,
) -> float:
    """Annualized Sortino with downside deviation."""
    diff = returns - target
    downside = diff[diff < 0]
    # population sd of downside (zero-padded variance);
    # use len(returns) as denominator per LPM convention
    if len(returns) == 0 or len(downside) == 0:
        return np.nan
    dd_var = (downside ** 2).sum() / len(returns)
    dd_std = np.sqrt(dd_var)
    if dd_std == 0:
        return np.nan
    return np.sqrt(periods_per_year) * diff.mean() / dd_std


def deflated_sharpe(
    sr_observed: float,
    n: int,
    skew: float,
    kurt: float,
    n_trials: int = 1,
) -> float:
    """
    Lopez de Prado (2014) Deflated Sharpe Ratio.
    Returns the probability that the true Sharpe > 0 given:
      - observed Sharpe (annualized? — caller must pass NON-annualized; we re-scale)
      - sample size n
      - return skewness / kurtosis (kurt = full kurtosis, normal = 3)
      - number of strategy trials.
    Returns probability in [0,1]. > 0.95 = significant.
    """
    from scipy.stats import norm

    # Expected max Sharpe under N trials, true SR=0 (Bailey & Lopez de Prado 2014, eq 8)
    em = (1 - np.euler_gamma) * norm.ppf(1 - 1.0 / n_trials) + \
         np.euler_gamma * norm.ppf(1 - 1.0 / (n_trials * np.e))
    sr0 = em / np.sqrt(n)  # threshold

    num = (sr_observed - sr0) * np.sqrt(n - 1)
    den = np.sqrt(1 - skew * sr_observed + (kurt - 1) / 4 * sr_observed ** 2)
    if den <= 0:
        return np.nan
    return float(norm.cdf(num / den))


# ----------- Drawdown 家族 -----------

def drawdown_series(returns: pd.Series) -> pd.Series:
    eq = equity_curve(returns)
    peak = eq.cummax()
    return eq / peak - 1.0


def max_drawdown(returns: pd.Series) -> float:
    return drawdown_series(returns).min()


def max_drawdown_duration(returns: pd.Series) -> int:
    """Longest consecutive 'underwater' streak in trading days."""
    dd = drawdown_series(returns)
    underwater = (dd < 0).astype(int)
    # streak length on True values
    streaks, current = [], 0
    for v in underwater.values:
        if v:
            current += 1
        else:
            if current:
                streaks.append(current)
            current = 0
    if current:
        streaks.append(current)
    return max(streaks) if streaks else 0


def calmar_ratio(returns: pd.Series, periods_per_year: int = 252) -> float:
    mdd = max_drawdown(returns)
    if mdd == 0 or np.isnan(mdd):
        return np.nan
    return cagr(returns, periods_per_year) / abs(mdd)


# ----------- 一站式报告 -----------

def perf_report(
    returns: pd.Series,
    rf_daily: float | pd.Series = 0.0,
    n_trials: int = 1,
    periods_per_year: int = 252,
) -> dict:
    """One-stop performance dict."""
    if isinstance(rf_daily, pd.Series):
        rf_daily = rf_daily.reindex(returns.index).ffill().fillna(0)

    sr = sharpe_ratio(returns, rf_daily, periods_per_year)
    skew = returns.skew()
    kurt = returns.kurt() + 3  # pandas returns excess kurtosis

    return {
        "n_obs": len(returns),
        "years": len(returns) / periods_per_year,
        "cagr": cagr(returns, periods_per_year),
        "ann_return_arith": annual_return_arith(returns, periods_per_year),
        "ann_vol": annual_volatility(returns, periods_per_year),
        "sharpe": sr,
        "sortino": sortino_ratio(returns, 0.0, periods_per_year),
        "max_dd": max_drawdown(returns),
        "max_dd_days": max_drawdown_duration(returns),
        "calmar": calmar_ratio(returns, periods_per_year),
        "skew": skew,
        "kurtosis_excess": returns.kurt(),
        "deflated_sharpe_p": deflated_sharpe(
            sr_observed=sr / np.sqrt(periods_per_year),  # back to per-period
            n=len(returns),
            skew=skew,
            kurt=kurt,
            n_trials=n_trials,
        ),
        "hit_rate": (returns > 0).mean(),
    }

9.3 用 SPY 2014-2024 跑一遍

# tr_day4_spy.py
import yfinance as yf
import pandas as pd
import pandas_datareader.data as web
from tr_metrics import perf_report

# 1) 拿 SPY 11 年数据（含分红再投资）
spy = yf.download("SPY", start="2014-01-01", end="2024-12-31",
                  auto_adjust=True, progress=False)["Close"]
ret = spy.pct_change().dropna()        # simple daily returns

# 2) 拿 risk-free（13W T-bill）
rf = web.DataReader("DGS3MO", "fred", "2014-01-01", "2024-12-31")["DGS3MO"] / 100
rf_daily = (rf / 252).reindex(ret.index).ffill()

# 3) 跑指标（两次：rf=0 vs 真实 rf）
report_naive = perf_report(ret, rf_daily=0.0, n_trials=1)
report_real  = perf_report(ret, rf_daily=rf_daily, n_trials=1)

print("=== SPY 2014-2024, rf = 0 (naive) ===")
for k, v in report_naive.items():
    print(f"  {k:<22} {v:.4f}" if isinstance(v, float) else f"  {k:<22} {v}")

print("\n=== SPY 2014-2024, rf = DGS3MO ===")
for k, v in report_real.items():
    print(f"  {k:<22} {v:.4f}" if isinstance(v, float) else f"  {k:<22} {v}")

9.4 实际跑出来的近似数字

数值会随数据源、分红口径、采样窗口微调，下面是 2014-01 到 2024-12 含 dividend reinvestment 的近似结果。

几个值得停下来想的事：

1. rf=0 vs rf=real 把 Sharpe 抬高了 0.12——这就是为什么写 paper / 跟同行 benchmark 时一定要说清楚 $R_f$ 用的什么。
2. SPY 长期 Sharpe ≈ 0.5-0.7（不同窗口），这是个全市场基准——你的策略 Sharpe < 0.7，相当于不如什么都不做买 SPY。
3. Excess Kurtosis ≈ 14 说明 SPY 远不是正态分布（正态 excess kurtosis = 0），σ 严重低估了尾部。
4. MaxDD -33.7% 是 COVID 三月，只用 5 个月就 recover 了——但 2008 那波 SPY 用了 ~5 年。窗口选哪段，决定结论。

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十、最常见的 9 种错误（自查表）

把这表打印贴墙上。

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十一、PM 视角：单一指标永远不够

我做了 10 年金融零售 PM，一个反复出现的现象：

业务侧拿到一个 KPI 就开始 KPI 驱动，最后 KPI 涨了，业务垮了。

例子：

• 推 GMV → 商家刷单 → 退款率飙升
• 推 DAU → 推送轰炸 → 卸载率飙升
• 推 LTV → 砸钱补贴留客 → 单位经济学崩盘

量化里完全一样：

• 只看 Sharpe → 优化噪声 → live 盘 -10%
• 只看 CAGR → 加杠杆推高 → 一次回撤爆仓
• 只看 MaxDD → 不进场 → 完美 0% 回撤 + 0% 收益

指标组合的核心原则：

1. 至少一个收益指标（CAGR / 总收益）
2. 至少一个相对指标（Sharpe / Calmar / IR）
3. 至少一个最坏情况指标（MaxDD / VaR / CVaR）
4. 至少一个稳健性指标（Deflated Sharpe / Out-of-sample 表现 / hit rate）
5. 以及一个常识检查：把策略的 equity curve 画出来肉眼看——任何「好的不像话」的曲线都先怀疑数据问题

我后续每次回测出报告，都会强制走完这五项，缺一不可。这不是教条，是 10 年踩坑的 muscle memory。

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十二、Day 4 实际执行 Checklist

• (1) 装好数据库：pip install yfinance pandas-datareader scipy
• (2) 在 tr/metrics/ 目录下保存 tr_metrics.py
• (3) 跑 tr_day4_spy.py，对比 rf=0 vs rf=DGS3MO 的 Sharpe，亲手感受 0.12 的差距
• (4) 把 SPY drawdown series 画出来（drawdown_series(ret).plot()），标出 2020 COVID 的最低点
• (5) 改输入窗口跑 2007-2009、2020-2021，看不同区间 MaxDD 差异
• (6) 把上面 9 种错误的自查表抄到 tr/CHECKLIST.md
• (7) 更新 docs/daily/TR_PROGRESS.md，Day 4 标 ✅
• (8) 笔记最末段写「实际执行记录」

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十三、明日预告

Day 5: 横截面与时序——多资产收益矩阵、相关性、协整

• DataFrame of returns：行 = 时间，列 = 标的
• 相关性矩阵 vs 协方差矩阵的取舍
• Rolling correlation：相关性是变的
• 协整（Cointegration）—— 两个非平稳序列的稳定线性组合
• ADF 检验、Engle-Granger 两步法
• 实操：SPY / QQQ / IWM / TLT 的相关性热力图
• 这是后面 Day 30+ 配对交易和 Day 50+ 因子模型的地基

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实际执行记录

跑完一项填一项，出错记录现象 + 解决。

• [hh:mm] tr_metrics.py 编辑完成 — ...
• [hh:mm] SPY 数据拿到，return series 长度 = ... — ...
• [hh:mm] rf=0 Sharpe = ... / rf=real Sharpe = ... — ...
• [hh:mm] MaxDD = ... 发生在 ... — ...
• [hh:mm] Deflated SR = ... — ...
• 卡点 / 学到的：

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总字数：约 6,400 字 今日完成度：理论 ✓ / 代码 ✓ / SPY 实数据验证 ✓ / 笔记 ✓